2.1.1 Bildmessungen
Die zentralperspektive fotografische Abbildung eines Objektes wird durch die Kollinearitätsgleichung beschrieben.
Darin sind:
X :die Koordinaten eines Punktes im Objektkoordinatensystem
X0 :die Koordinaten des Projektzentrums im Objektkoordinatensystem
λ :ein Maßstabsfaktor, der für jeden Punkt anders ist
R :eine orthogonale Rotationsmatrix (vom Objektraum in den Bildraum)
x' :die Bildkoordinaten des abgebildeten Punktes, definiert im Bildraum
xH' :die Koordinaten des Bildhauptpunktes (PPA) in Bezug auf den Symmetriepunkt (PPS) oder bei digitalen Bildern auf die Bildmitte
Die Matrix R ist für mitgedrehte Achsen angesetzt in der Drehreihenfolge ϕ ω κ :
Der Vektor xH' enthält als feste Komponente die Kamerakonstante c. Die Kollinearitätsgleichung beschreibt damit eine (auch bei bekannter Orientierung) nicht umkehrbare Überführung eines dreidimensionalen Raumes in einen zweidimensionalen Raum. Koordinaten von Objektpunkten können daher aus Bildmessungen nur bestimmt werden, wenn die Punkte in mindestens zwei räumlich getrennt liegenden Bildern erfasst sind.
Zur gemeinsamen Bestimmung von Objektpunkten und Orientierungsparametern eines Bildverbandes wird die Gleichung 2.1.1/1 umgeformt zu
und für die Ausgleichung durch Entwicklung in eine Taylorreihe linearisiert.
Die Drehwinkel in der Reihenfolge ϕ ω κ sind als Euler'sche Winkel definiert, d.h. die positive Drehung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn bei Blick aus der positiven Richtung der Drehachsen.
Abb. 2.1.1-1 Definition der Drehrichtungen
Die Matrix R ist eine orthogonale Matrix und kann nie singulär sein, da die Inverse definiert ist als R-1 = RT. Bei einer Winkeldefinition nach 2.1.1/2 wird der der zweite Drehwinkel – also ω – singulär, wenn sich sein Wert einem rechten Winkel nähert. Daher lassen sich mit nur einem Winkelsystem nach 2.1.1/2 nicht beliebige Raumrichtungen beschreiben. Dieses Problem lässt sich z.B. überwinden, indem man für Luftbilder bzw. vertikale Aufnahmerichtungen und terrestrische Bilder mit vorzugsweise horizontalen Aufnahmerichtungen unterschiedliche Winkeldefinitionen ansetzt.
Die Auswahl der Winkeldefinition erfolgt bei der Bestimmung der Näherungswerte im Programm RELAX automatisch und kann durch den Anwender nur begrenzt beeinflusst werden. Diese Methode hat zwei Vorteile:
- Es können keine Singularitäten bei den Winkeln auftreten.
- Sowohl für Luftbildanwendungen als auch für terrestrische Aufnahmen erhält man stets anschauliche Winkelwerte (siehe unten).
Anmerkung: Es gibt nur eine einzige Drehmatrix für ein bestimmtes Photo. Die Matrix ist unabhängig von ihrer Parametrisierung ϕ ω κ, ω ϕ κ oder Rodrigues Parameter. Die Werte in der Matrix sind immer die gleichen! Um von einem Paratersatz auf einen anderen zu wechseln ist zunächst die Drehmatrix zu bestimmen. In einem zweiten Schritt können neue Parameter aus der Matrix gerechnet werden. Vergleiche die nächsten zwei Kapitel.