2. Mathematisches Modell

Eine wichtige Aufgabe des Geodäten ist die dreidimensionale Bestimmung von Koordinaten verschiedenster Objekte. Um eine Kontrolle der Messungen zu ermöglichen, ist dabei die Anzahl der Bestimmungsstücke üblicherweise größer als die Anzahl der Unbekannten. Dadurch entsteht ein überbestimmtes Gleichungssystem, das zweckmäßig durch eine Optimierung gelöst wird.

Jede Optimierung wird eindeutig beschrieben durch eine Zielfunktion und Randbedingungen. Die Randbedingungen sind hier die geometrischen Zusammenhänge zwischen Beobachtungen (Strecken, Winkel, Bildmessungen u.s.w.) und den Unbekannten (Punkte, Bildorientierungen u.s.w.), die in der Designmatrix A beschrieben werden. Sie sind nachfolgend im Kapitel 2.1 Funktionales Modell behandelt. Für einen konkreten Datensatz sind sie nicht austauschbar.

Als Zielfunktionen kommen für geodätische Anwendungen z.B. in Betracht: Minimax, L1-Norm, L2-Norm. Die Wahl der Zielfunktion kann das Optimierungsergebnis erheblich beeinflussen. In BINGO wird die quadratische Optimierung (L2-Norm) benutzt: die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Kapitel 2.2 Stochastisches Modell beschreibt die Feinheiten dieses Ansatzes.

Wegen der nichtlinearen Ansätze ist diese Ausgleichung stets ein iterativer Prozess.

Eine detailliertere Beschreibung der mathematischen Ansätze, der Arbeitsweise des Ausgleichungsalgorithmusses sowie weitere praktische Anwendungsbeispiele sind auch nachzulesen bei /Kruck 1983/.

Funktionales und stochastisches Modell sind voneinander strikt getrennt. Verbindend ist einzig die Standardabweichung der Gewichtseinheit s₀ wie in diesem Kapitel weiter unten zu erkennen ist. Als wichtige Konsequenz aus dieser Tatsache ergibt sich, dass z.B. Standardabweichungen einzelner Punkte gar nichts über deren tatsächliche Genauigkeit aussagen können, solange noch Messfehler im Datensatz vorhanden sind. Ein Messfehler an einem einzelnen Punkt beeinflusst die Standardabweichung dieses Punktes nicht direkt sondern ausschließlich über den für das gesamte Netz globalen Faktor s₀.