2.4 Lösung der Normalgleichung

Ausgehend von Gleichung 2.1/1 wird die Normalgleichung 2.1/2

bzw. 2.1/3 aufgestellt. Wollte man den Unbekannten-Vektor x aus 2.1/3 nach

(2.4/1)

berechnen, so müsste die komplette vollbesetzte Matrix berechnet werden. Für größere Gleichungssysteme ist dieses jedoch aus Rechenzeitgründen unmöglich. Daher erfolgt die Gleichungslösung stets durch eine Faktorisierung. In BINGO wird der Algorithmus von Cholesky verwendet. Durch eine Dreieckszerlegung wird N aufgespalten in

(2.4/2)

eingesetzt in 2.1/3

(2.4/3)

Es wird substituiert

(2.4/4)

und eingesetzt in 2.4/3 entsteht

(2.4/5)

Nach der Faktorisierung gemäß 2.4/2 wird g aus 2.4/5 bestimmt und anschließend x aus 2.4/4.

Dieser Ansatz führt jedoch nur dann zu einer Lösung, wenn das Gleichungssystem regulär oder positiv definit ist, also den vollen Rang r=n-u besitzt.

Da bei Blockausgleichungen die Näherungswerte für die Unbekannten meistens nur recht grob bekannt sind, muss die Ausgleichung in mehreren nacheinander folgenden Schritten (Iterationen) erfolgen, wobei jeweils in einer Iteration i+1 die Ausgleichungsergebnisse der Iteration i als Näherungen benutzt werden. Wenn die Zuschläge zu den Unbekannten klein genug geworden sind, ist keine weitere Iteration mehr notwendig.