2.1.6 Erdkrümmung und atmosphärische Refraktion

Bei einem hinreichend großen Bildverband sind die Annahmen, dass Lichtstrahlen geradlinig verlaufen und dass das Objektkoordinatensystem kartesisch ist, nur noch näherungsweise erfüllt. Die atmosphärische Refraktion krümmt einen Lichtstrahl durch die mit der Höhe veränderliche Luftdichte. Aufgrund der Erdkrümmung kann eine Niveaufläche über ein unbegrenzt großes Gebiet nicht durch eine einzige Ebene dargestellt werden. Beide Effekte wirken radial im Bild und nehmen zum Bildrand hin zu.

BINGO kann diese Effekte berücksichtigen, indem es die Bildkoordinaten vor der Bildung der Beobachtungsgleichungen korrigiert. Dieser Anhang beschreibt die im aktuellen BINGO-Rechenkern implementierten Modelle.

Achtung

Diese Korrekturen setzen einen sinnvollen Höhenbezug und konsistente Einheiten voraus. Sie sollten nur aktiviert werden, wenn ihre Annahmen zum Projekt passen. Bei vielen Projekten ist es strenger, die Objektkoordinaten vor der Ausgleichung in ein geeignetes lokales kartesisches System zu transformieren. Die Programmsteuerung ist unter PARA beschrieben.

Formelzeichen und Einheiten

Es bezeichnen

• $x'$ und $y'$ die Bildkoordinaten nach den vorhergehenden Kamerakorrekturen,
• $r^2 = x'^2 + y'^2$ den quadrierten radialen Bildabstand,
• $c$ die Kammerkonstante,
• $Z_0$ die Höhe des Projektionszentrums,
• $Z$ die Höhe des Objektpunkts und
• $R$ den Erdradius.

Die Koordinaten $x'$, $y'$ und $c$ müssen dieselbe Einheit haben. Die Höhen und $R$ müssen in derselben Objektkoordinateneinheit angegeben werden. Der BINGO-Standardwert ist $R = 6{.}380{.}000\ \mathrm{m}$. Werden andere Einheiten verwendet, müssen die entsprechenden Konstanten mit CONS definiert werden.

Atmosphärische Refraktion

BINGO verwendet ein höhenabhängiges radiales Modell. Zunächst werden die Höhen von Projektionszentrum und Objektpunkt auf Kilometer bei einem Referenzerdradius von 6.380 km normiert:

$$z_0 = 0{,}001\,Z_0\frac{6{.}380{.}000}{R}, \qquad z = 0{,}001\,Z\frac{6{.}380{.}000}{R}.$$

Der für die Beobachtung verwendete Refraktionskoeffizient lautet

$$k = 0{,}00241\left( \frac{z_0}{z_0^2-6z_0+250} - \frac{z^2}{z_0\left(z^2-6z+250\right)} \right).$$

Mit

$$f = \left(1+\frac{r^2}{c^2}\right)k$$

werden die folgenden Korrekturen auf die Bildkoordinaten angewendet:

$$\Delta x'_{\mathrm{ref}}=-x'f, \qquad \Delta y'_{\mathrm{ref}}=-y'f.$$

Dies ist die mit PARA gesteuerte Refraktionskorrektur der Bildkoordinaten. Sie ist nicht mit dem Refraktionskoeffizienten in einer CONS-Anweisung für terrestrische Zenitwinkelbeobachtungen zu verwechseln.

Erdkrümmung

BINGO stellt zwei Modelle für die Erdkrümmung bereit. Beide liefern einen Maßstabsfaktor $e$ und wenden die radialen Korrekturen

$$\Delta x'_{\mathrm{curv}}=x'e, \qquad \Delta y'_{\mathrm{curv}}=y'e$$

an.

Modell mit absoluten Höhen (Mikhail)

Das Modell mit absoluten Höhen verwendet die Objekthöhe im lokalen Erdradius:

$$e_{\mathrm{Mikhail}} = \frac{1}{2(R+Z)} \frac{r^2(Z_0-Z)}{c^2}.$$

Dieses Modell verwendet BINGO standardmäßig, wenn die Erdkrümmungskorrektur aktiviert wird.

Modell mit relativen Höhen (Kraus)

Das alternative Kraus-Modell verwendet den Radius $R$ und berücksichtigt die Objekthöhe ausdrücklich:

$$e_{\mathrm{Kraus}} = \frac{1}{2R} \left( \frac{r^2(Z_0-Z)}{c^2}-2Z \right).$$

Die beiden Ansätze reagieren deshalb unterschiedlich auf den Höhenbezug. Der Unterschied kann in hügeligem oder gebirgigem Gelände relevant werden und sich auf die geschätzten äußeren Orientierungen auswirken.

Anwendung der Korrekturen

Die Korrekturen sind standardmäßig deaktiviert. Vor ihrer Aktivierung ist Folgendes zu prüfen:

1. Alle Objekthöhen und der Erdradius verwenden konsistente Einheiten.
2. Der Höhenbezug ist für das gewählte Erdkrümmungsmodell geeignet.
3. Die Korrektur wurde nicht bereits bei der Bildvorverarbeitung angebracht.
4. Eine kontrollierte Ausgleichung mit und ohne Korrektur wird verglichen, einschließlich der Änderungen der Verbesserungen und der äußeren Orientierung.
5. Das gewählte Modell wird in der Projektdokumentation festgehalten.

Zu den theoretischen Grundlagen siehe /Kraus 1994, 1996/.